Mesure Fonction \(\mu:\mathcal A\to[0,+\infty]\)

• axiomes :
    
• \(\mu(\varnothing)=0\)
    
• \(\sigma\)-additivité : $$(A_n)_{n\in\Bbb N}\in\mathcal A^{\Bbb N}\text{ disjoints }\implies\mu\left(\bigcup_{n\in\Bbb N} A_n\right)=\sum_{n\geqslant0}\mu(A_n)$$
• \(A\subset B\) \(\implies\) \(\mu(A)\leqslant\mu(B)\)
• \((A_n)_{n\in\Bbb N}\in\mathcal A^{\Bbb N}\) est croissante \(\implies\) \(\mu(\bigcup_{n\geqslant0}A_n)=\varlimsup_{n\to+\infty}\mu(A_n)\)
• \((A_n)_{n\in\Bbb N}\in\mathcal A^{\Bbb N}\) est décroissante et tq \(\mu(A_0)\lt +\infty\) \(\implies\) \(\mu(\bigcap_{n\geqslant0}A_n)=\varliminf_{n\to+\infty}\mu(A_n)\)
• \(\sigma\)-sous-additivité : $$\mu\left(\bigcup_{n\geqslant 0}A_n\right)\leqslant\sum_{n\geqslant0}\mu(A_n)$$

Tribu

Questions de cours

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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: D'où vient la formule \({\Bbb P}(A\cap B)\leqslant {\Bbb P}(A)+{\Bbb P}(B)\) ?
Verso: Elle vient de la \(\sigma\)-sous-additivité : $${\Bbb P}(A\cap B)\leqslant{\Bbb P}(A\cup B)\leqslant{\Bbb P} (A)+{\Bbb P}(B)$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END